mellin transform and functional equation for Riemann zeta function

久しぶりの記事になってしまいました。卒論がまぁまぁ大変・・・。
ゼータばっか見てて頭が解析接続されちゃいそうです。ちゃんと統計、機械学習の勉強もしないと。

休憩中に適当に書いたプログラムで他の記事を用意してるんだけど、卒業研究してたら気になるものがあったので備忘録としてまとめておきます。
(久しぶりの記事なのに、自分用のメモで全然面白くないですね・・・w)

メリン変換(Mellin transform)とは

wikiによると

メリン変換とは両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。

ここでは両側ラプラス変換は置いといて、積分変換ということだけに注目しておこう。
まず積分変換とは、

$\displaystyle (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} K(t,u) f(t) dt$

の形をとるもので、代表的には以下のフーリエ変換が挙げられる。

$\displaystyle H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-2\pi f t} dt$

ここでメリン変換の定義式を見てみる。

$\displaystyle \varphi(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s-1} dx$

どっからどう見てもガンマ関数を意識したくなる式。 $f(x) = e^{-x}$ で右辺はそのままガンマ関数になる。
次にこのメリン変換を使ってある公式を証明する。

$\int^{\infty}_0 (\sin x) x^{s-1} \mathrm{d} x = \sin{(\pi s/2)}\Gamma(s)$

さて、これから行うゼータ関数の関数等式の証明のためには上の公式を証明しておく必要がある。厳密には( $-1$ < $Re(s)$ < $1$ )で成り立つことに注意。

形を見比べれば一目瞭然だけど、上の公式はメリン変換の公式の一つで $f(x) = \sin{x}$ の場合になっている。以下証明。

オイラーの公式より

$\displaystyle \sin{z} = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$

ここで $f(x) = e^{ix}$ としたメリン変換について考える。

$\displaystyle \begin{bmatrix} x=it \\ dx = i\,dt\end{bmatrix}$

とすると、

$\displaystyle \int_0^\infty e^{ix} x^{s-1}\,dx= \int_{0}^{-i\cdot\infty} e^{-t} (it)^{s-1} i\,dt = -i^s \int_{-i\cdot \infty}^0 e^{-t}t^{s-1}\,dt.$

( $-1$ < $Re(s)$ < $1$ )のもと積分区間を変更して

$\displaystyle \int_{-i\cdot \infty}^0 e^{-t}t^{s-1}\,dt = -\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}\,dt = -\Gamma(s).$

以上より

$\displaystyle \int_0^\infty e^{ix} x^{s-1}\,dx = i^s\Gamma(s) = \exp(i\pi s/2) \Gamma(s).$

同様に、

$\displaystyle \int_0^\infty e^{-ix} x^{s-1}\,dx = i^{-s}\Gamma(s) = \exp(-i\pi s/2) \Gamma(s).$

以上まとめると、

$\begin{eqnarray} \displaystyle \int^{\infty}_0 (\sin x) x^{s-1} \mathrm{d} x &=& \int^{\infty}_0 \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} x^{s-1} dx \\ &=& \frac{1}{2i} \{\exp(i \pi s/2) - \exp(-i \pi s / 2)\} \Gamma(s)\\ &=& \sin{(\pi s/2)}\Gamma(s) \end{eqnarray}$

証明終了。

リーマンゼータの関数等式の証明

証明するのは次の関数等式。

$\displaystyle \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \pi^{-(1-s)/2}\Gamma((1-s)/2)\zeta(1-s).$

ちなみにここではこの関数等式が何者なのかには言及しない。

証明は( $-1$ < $Re(s)$ < $0$ )の範囲に解析接続されたゼータ関数、

$\displaystyle \zeta(s) = -s\int_{0}^{\infty} \psi(x)x^{-s-1}dx, \\ \psi(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$

から始めるとする。(いないと思うけどw)万が一、これがどう成り立つか知りたい人がいたらコメントください。以下証明。

$\psi(x)$ をフーリエ級数展開すると(これもまぁまぁめんどいけどとりあえず割愛)、

$\displaystyle \psi(x) = -\sum_{n=1}^{\infty}(n\pi)^{-1} \sin{(2n\pi x)}$

となるので、

$\displaystyle \zeta(s) = \pi^{-1} s \sum_{n=1}^{\infty} n^{-1} \int_{0}^{\infty} \sin{(2n\pi x)}x^{-s-1} dx$

が成立する。ここで $y = 2n \pi x$ の変数変換を行うと

$\displaystyle \pi^{-1} s \sum_{n=1}^{\infty} n^{-1} \int_{0}^{\infty} \sin{(2n\pi x)}x^{-s-1} dx = \pi^{-1} s \sum_{n=1}^{\infty} (2n\pi)^s n^{-1} \int_{0}^{\infty} (\sin{y}) y^{-s-1} dy \notag \\$