バーゼル問題の証明〜sinを因数分解しちゃう発想ったら...〜

僕が何回も読み直してる愛読書、数学ガールで一番好きな部分。最初に読んだ時は衝撃でした。本記事は定番の証明方法、マクローリン展開を使う証明です。

問題を提起したのはイタリアの数学者ピエトロさん。解法を編み出したのはオイラーさん。やはりオイラーさんは紛れもない数学界の神ですね。ちなみに解かれるまで約100年かかってます。

バーゼル問題とは？

まずは $\zeta$ 関数の紹介から。ゼータって読みます。こいつほんと面白い。作ったのはリーマンさん。

$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \\ n \in \mathbb{N}$

総和記号を使ってる時点で $n$ が自然数の集合に属しているなんて、別に書かなくてもいいんですけど、

"一見、自然数の総和なのに $\zeta(-1)$ は $\displaystyle -\frac{1}{12}$ になる"

とかの不思議を強調したいので敢えて書いてます。まあこの記事ではそこに言及しませんが。むしろ $s$ の定義域の方が大事なんですけど、まあ今はいいんです。

あとこの関数はバーゼル問題が解かれたあとに、リーマンさんが問題の一般化を図るため定義した式です。歴史的には順番が逆だけど知ってほしい(自分の研究テーマなんです。)ので、導入しちゃいます。

くそ脱線しましたが、とにかくバーゼル問題とは、上で定義される $\zeta$ 関数に $s = 2$ を代入した式がいくつになるん？って問題です。ちゃんと書くと以下。

平方数の逆数の総和はいくつか？

それでは証明いきましょう。

証明

タイトルにもあるように、証明の主役になるのは $\sin$ 関数です。流れとしては、

$\sin$ 関数を2通りの表現をする。
そいつらを等号で結ぶ。
恒等式と見て係数比較。

って感じです。ではさっそく。

1. $\sin$ 関数を2通りの表現をする。

まず1つ目の表現方法はマクローリン展開。テイラー展開の0近傍バージョンですね。

$\displaystyle \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

今回はここまでで十分なんで、一般化された項は書きません。少し変形しておきましょう。

$\displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

両辺を $x$ で割っているのは後々のためです。余談ですがこいつをsinc関数って呼んだりもします。

そして2つ目が因数分解。 $\sin(x)$ を因数分解しちゃいます。因数定理に基づいて因数分解していきます。まあ $\sin(x)=0$ になる $x$ を探すってことですね。これだけ。

$\sin(x)=0$ を満たす $x$ は、

$x = n\pi \quad n \in \mathbb{Z}$

なので、因数分解すると以下。

$\sin(x) = x(x + \pi)(x - \pi)(x + 2\pi)(x - 2\pi)(x + 3\pi)(x - 3\pi) \cdots$

ここでちょっとテクニック。後々のために、こんな変形をします。一気にいきます。

$\displaystyle \sin(x) = x(1 + \frac{x}{\pi})(1 - \frac{x}{\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{3\pi})(1 - \frac{x}{3\pi}) \cdots$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\sin(x)}{x} = (1 + \frac{x}{\pi})(1 - \frac{x}{\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{3\pi})(1 - \frac{x}{3\pi}) \cdots$

和と差の積の部分をまとめると、

$\displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = (1 - \frac{x^2}{\pi^2})(1 - \frac{x^2}{2^2 \pi^2})(1-\frac{x^2}{3^2\pi})\cdots$

これで2通りの表現が完了しました。7割証明終了です！

2. そいつらを等号で結ぶ。

結びます。

$\displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = (1 - \frac{x^2}{\pi^2})(1 - \frac{x^2}{2^2 \pi^2})(1-\frac{x^2}{3^2\pi})\cdots = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$